Question

16．若不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x-5y+10≤0\\ x+y-8≤0\end{array}\right.$所表示的平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分，则k的值为$\frac{1}{2}$；若该平面区域存在点（x₀，y₀）使x₀+ay₀+2≤0成立，则实数a的取值范围是a≤-1．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，由目标函数过定点（0，2），结合平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分，可知直线y=kx+2过BC的中点，联立方程组结合中点坐标公式求出BC中点，再由两点求斜率公式得k值；利用目标函数的几何意义，结合数形结合分类进行求解，可得实数3a+b的取值范围．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x-5y+10≤0\\ x+y-8≤0\end{array}\right.$作出可行域如图，
∵直线y=kx+2过定点（0，2），若平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分，
则直线y=kx+2过BC的中点，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{x+y-8=0}\end{array}\right.$，解得B（3，5）；
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-5y+10=0}\\{x+y-8=0}\end{array}\right.$，解得C（5，3）．
∴BC的中点为（4，4），则k=$\frac{4-2}{4-0}=\frac{1}{2}$；
若a=0，则不等式x+ay+2≤0等价为x≤-2，此时不满足条件；
若a＞0，则不等式等价为y≤-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$，直线y=-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$的斜率k=-$\frac{1}{a}$＜0，此时区域都在直线y=-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$的上方，不满足条件；
若a＜0，则不等式等价为y≥-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$，直线y=-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$的斜率k=-$\frac{1}{a}$＞0，
若平面区域存在点（x₀，y₀），使x₀+ay₀+2≤0成立，
则只要满足点A（0，2）满足条件不等式此时区域都在直线y=-$\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$的上方即可．
即0+2a+2≤0，解得a≤-1，
故答案为：a≤-1．
故答案为：$\frac{1}{2}；a≤-1$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．