Question

16．（1）已知函数y=cos²α+sinα+3，求函数的最大值
（2）求f（x）=$\sqrt{2si{n}^{2}x+3sinx-2$+$log{\;}_{2}（-{x}^{2}+7x+8）}$的定义域．

Answer 1

分析 （1）利用sin²α+cos²α=1对已知函数进行变形，然后利用配方法来求函数的最大值；
（2）根据二次根式的被开方数是非负数和对数函数定义域进行计算即可．

解答 解：（1）y=cos²α+sinα+3，
=1-sin²α+sinα+3，
=-（sinα-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{17}{4}$．
当sinα=$\frac{1}{2}$时，y_最大值=$\frac{17}{4}$．
（2）依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2si{n}^{2}x+3sinx-2≥0}\\{-{x}^{2}+7x+8＞0}\end{array}\right.$，
整理，得
$\left\{\begin{array}{l}{（sinx+2）（2sinx-1）≥0}\\{（x-8）（x+1）＜0}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{sinx≥\frac{1}{2}}\\{-1＜x＜8}\end{array}\right.$．
所以x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]∪[$\frac{13π}{6}$，8]．

点评 本题考查了函数的定义域及其求法，三角函数的最值．考查转化思想以及计算能力．