Question

6．已知双曲线$\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{20}$=1，椭圆C以双曲线的焦点为顶点、顶点为焦点，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，P（${\frac{3}{2}$，$\frac{{5\sqrt{3}}}{2}}$）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

Answer 1

分析 （1）依题意得椭圆的焦点坐标为（±4，0），利用P在椭圆上，求出a，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由（1）知A（-6，0），B（6，0），直线AP的方程为x-$\sqrt{3}y$+6=0，设点M（m，0），由题意得$\frac{|m+6|}{2}=|m-6|$，由此能求出当x=$\frac{9}{2}$时，d取得最小值．

解答 解：（1）依题意得椭圆的焦点坐标为（±4，0），
∵P在椭圆上，
∴2a=$\sqrt{（\frac{3}{2}-4）^{2}+（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（\frac{3}{2}+4）^{2}+（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=12
解得a=6，b²=20，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}$=1．
（2）由（1）知A（-6，0），B（6，0），
∴直线AP的方程为x-$\sqrt{3}$y+6=0，
设点M（m，0），由题意得$\frac{|m+6|}{2}=|m-6|$，
又-6≤m≤6，
∴m=2，∴${d}^{2}=（x-2）^{2}+{y}^{2}={x}^{2}-4x+4+20-\frac{5}{9}{x}^{2}=\frac{4}{9}（x-\frac{9}{2}）^{2}+15$，
∴当x=$\frac{9}{2}$时，d取得最小值$\sqrt{15}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆上的点到点M的距离d的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．