Question

4．如图，已知PA与圆O相切，P为切点，割线ABC与圆O相切于点B，C，AC=2PA，D为AC的中点．PD的延长线交圆O于E点，证明：
（1）∠ECD=∠EBD；
（2）2DB²=PD•DE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如图3，连接PB，PC，由已知可得：∠APD=∠ADP，进而得出∠CPD=∠BPD，可得CE=EB，即可证明．
（Ⅱ）由切割线定理得，PA²=AB•AC，可得B是AD中点，由相交弦定理，得DB•DC=PD•DE，即可证明．

解答 证明：（Ⅰ）如图3，连接PB，PC，
由题设知PA=AD，∴∠APD=∠ADP，
∵∠ADP=∠PCD+∠CPD，∠APD=∠BPD+∠BPA，∠PCD=∠BPA，
∴∠CPD=∠BPD，
从而$\widehat{CE}=\widehat{EB}$，因此CE=EB，
∴∠ECD=∠EBD．
（Ⅱ）由切割线定理得，PA²=AB•AC，
∵PA=AD=DC，∴DC=2AB，∴AB=DB，即B是AD中点，
由相交弦定理，得DB•DC=PD•DE，
∴2DB²=PD•DE．

点评 本题考查了圆的性质、三角形外角定理、切割线定理与相交弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．