题目内容
10．设二次函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x+1）+f（x）=2x2-2x-3（1）求f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=a有两个实数根x1，x2，且满足：-1＜x1＜2＜x2，求实数a的取值范围．
分析 （1）设出二次函数，利用函数的解析式，化简表达式，通过比较系数，求出函数的解析式．
（2）利用二次函数根与系数的关系，列出不等式，求解a的范围即可．
解答 解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），
则f（x+1）+f（x）=2ax2+（2a+2b）x+a+b+2c=2x2-2x-3…3分
所以$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ 2a+2b=-2\\ a+b+2c=-3\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-2，c=-1，
从而f（x）=x2-2x-1…7分
（2）令g（x）=f（x）-a=x2-2x-1-a=0
由于-1＜x1＜2＜x2，所以$\left\{\begin{array}{l}g（-1）＞0\\ g（2）＜0\end{array}\right.$…10分
解得-1＜a＜2…14分．
点评 本题考查二次函数的性质，函数的解析式的求法，考查计算能力以及转化思想的应用．
练习册系列答案
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20．若函数$f（x）=\frac{1}{（2x+1）（x-a）}$为偶函数，则a=（ ）
| A． | 1 | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{3}{4}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
1．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=m（m≠0）$的渐近线斜率为±2，则该双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | $\sqrt{5}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | D． | $\sqrt{3}$或$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ |
15．已知x5=-243，那么x=（ ）
| A． | 3 | B． | -3 | C． | -3或3 | D． | 不存在 |
3．当x＞1时不等式$\frac{{{x^2}-x+1}}{x-1}≥a$恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | （-∞，3] | B． | [3，+∞） | C． | （-∞，2] | D． | [2，+∞） |
20．将函数f（x）=cosωx（ω＞0）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度后，所得到的图象与原图象关于y轴对称，则ω的最小值为（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | 3 | C． | 6 | D． | 9 |