Question

18．已知函数f（x）=（x-t）|x|（t∈R）．
（1）讨论y=f（x）的奇偶性；
（2）当t＞0时，求f（x）在区间[-1，2]的最小值h（t）．

Answer 1

分析 （1）讨论t=0和t≠0时，f（-x）与f（x）的关系，即可判断奇偶性；
（2）求出f（x）的分段形式，讨论t≥4时，0＜t＜4时，函数的单调性，即可得到最小值．

解答 解：（1）当t=0时，f（x）=x|x|，f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），则f（x）为奇函数； 
 当t≠0时，f（-x）=（-x-t）|-x|≠±f（x），则f（x）为非奇非偶函数；
（2）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-tx，x≥0\\-{x^2}+tx，x＜0\end{array}\right.$．
当$\frac{t}{2}≥2$，即t≥4时，f（x）在[-1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，
所以$h（x）=min\left\{{f（{-1}），f（{-2}）}\right\}=min\left\{{-1-t，4--2t}\right\}=\left\{\begin{array}{l}-1-t，4≤t＜5\\ 4-2t，t≥5\end{array}\right.$；
当$\frac{t}{2}＜2$，即0＜t＜4时，f（x）在[-1，0]和$[{\frac{t}{2}，2}]$单调递增，在$[{0，\frac{t}{2}}]$上单调递减，
所以$h（x）=min\left\{{f（{-1}），f（{\frac{t}{2}}）}\right\}=min\left\{{-1-t，4--\frac{t^2}{4}}\right\}=-1-t$，
综上所述，h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-1-t，0＜t＜5}\\{4-2t，t≥5}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查分类讨论的思想方法，运算能力，属于中档题．