Question

曲线C上的动点P到点M（2，

15

4

）和到y=

17

4

的距离相等，
（1）求曲线的解析式；
（2）设P是曲线C在区间[0，4]上任一点，A、B两点坐标分别为A（0，0）、B（4，0），求

PA

•

PB

取值范围；
（3）P（x₀，y₀）是曲线上任一点，若曲线l与C有且仅有一个公共点恰为P，当1≤x₀≤6时，求l在x轴上截距的取值范围．

Answer 1

考点：空间中的点的坐标,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x，y），由已知得

(x-2)2+(y- 15 4 )2

=|y-

17

4

|，由此能求出曲线的解析式．
（2）

PA

=（-p，p²-4p），

PB

=（4-p，p²-4p），

PA

•

PB

=-p（4-p）+（p²-4p）²=p（p-4）[p（p-4）+1]，令t=p（p-4），R=t（t+1），由此能求出

PA

•

PB

取值范围．
（3）（x₀-2）²=4-y₀，y₀=4-（x₀-2）²，（x-2）²=4-y，求导y′=-2（x-2），P处的切线：y-y₀=-2（x₀-2）（x-x₀），令y=0，得x=

x02

2x0-4

，由此能求出l在x轴上截距的取值范围．

解答： 解：（1）设P（x，y），
∵曲线C上的动点P到点M（2，

15

4

）和到y=

17

4

的距离相等，
∴

(x-2)2+(y- 15 4 )2

=|y-

17

4

|，
平方并整理得曲线的解析式为：（x-2）²=4-y．
（2）P（p，4-（p-2）²）即（p，4p-p²），0≤p≤4，

PA

=（-p，p²-4p），

PB

=（4-p，p²-4p），
∴

PA

•

PB

=-p（4-p）+（p²-4p）²=p（p-4）[p（p-4）+1]，
令t=p（p-4），
R=t（t+1），
t=

1

2

（0-1）=-

1

2

时，R取最小值-

1

4

，
此时p（p-4）=-

1

2

，2p²-8p+1=0，
p=

1

2

（4-

14

）在[0，4]内，
0≤p≤4，t=p（p-4）=（p-2）²-4，最小值-4，R=-4（-4+1）=12，
p=0，t=0，R=0，
p=4，t=0，R=0，
∴

PA

•

PB

的取值范围：[-

1

4

，12]．
（3）（x₀-2）²=4-y₀，y₀=4-（x₀-2）²，（i）
（x-2）²=4-y，求导y′=-2（x-2），
P处的切线：y-y₀=-2（x₀-2）（x-x₀）
令y=0，并代入（i），x=

x02

2x0-4

．
x=

x02

2x0-4

=

(x0-2+2)2

2(x0-2)

=

x0-2

2

+2+

2

x0-2

，
当x₀＞2时，
x=

x0-2

2

+2+

2

x0-2

≥2+2

x0-2 2 • 2 x0-2

=4，
∴l在x轴上截距的取值范围是x≥4．
当x₀＜2时，
x=

x0-2

2

+2+

2

x0-2

=2-

2-x0

2

-

2

2-x0

≤2-2

2-x0 2 • 2 2-x0

=0．
∴l在x轴上截距的取值范围是x≤0．

点评：本题考查曲线的解析式的求法，考查

PA

•

PB

的取值范围的求法，考查l在x轴上截距的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．