题目内容
已知函数f（x）=x2+
（x≠0，常数a=R），若a=0，f（x）=x2+
为偶函数，若a≠0，f（x）=x2+
为非奇非偶函数，若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．
| a |
| x |
| a |
| x |
| a |
| x |
考点：奇偶性与单调性的综合
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：设2≤x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=
[x1x2（x1+x2）-a]，要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，
必须f（x1）-f（x2）＜0恒成立．即可得出结论．
| x1-x2 |
| x1x2 |
必须f（x1）-f（x2）＜0恒成立．即可得出结论．
解答：
解：设2≤x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=
[x1x2（x1+x2）-a]，
要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，必须f（x1）-f（x2）＜0恒成立．
∵x1-x2＜0，x1x2＞4，
即a＜x1x2（x1+x2）恒成立．
又∵x1+x2＞4，∴x1x2（x1+x2）＞16，
∴a的取值范围是（-∞，16]．
f（x1）-f（x2）=
| x1-x2 |
| x1x2 |
要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，必须f（x1）-f（x2）＜0恒成立．
∵x1-x2＜0，x1x2＞4，
即a＜x1x2（x1+x2）恒成立．
又∵x1+x2＞4，∴x1x2（x1+x2）＞16，
∴a的取值范围是（-∞，16]．
点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查函数单调性的定义，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=x2+2ax+2在[-5，5]上单调，则实数a的取值范围是（ ）
| A、（-∞，-5] |
| B、[5，+∞） |
| C、[-5，5] |
| D、（-∞，-5]∪[5，+∞） |