Question

设函数f（x）=lnx-

1

2

ax²-bx
（1）当a=b=

1

2

时，求f（x）的最大值；
（2）令F（x）=f（x）+

1

2

ax²+bx+

a

x

（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x₀，y₀）处的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求a实数的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=b=

1

2

时，f′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

，由此利用导数性质能求出f（x）的最大值．
（2）F（x）=lnx+

a

x

，x∈（0，3]，由已知得a≥（-

1

2

x02+x0）_max，由此能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-

1

2

ax²-bx，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=b=

1

2

时，f（x）=lnx-

1

4

x2-

1

2

x，
f′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

，
令f′（x）=0，解得x=1或x=-2（舍），
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（x）的极大值为f(1)=-

3

4

，
∴f（x）的最大值为f（1）=-

3

4

．
（2）F（x）=lnx+

a

x

，x∈（0，3]，
则k=F′（x₀）=

x0-a

x02

≤

1

2

在（0，3]上恒成立，
∴a≥（-

1

2

x02+x0）_max，
当x₀=1时，-

1

2

x02+x0取得最大值

1

2

，
∴a≥

1

2

．

点评：本题考查函数的最大值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和导数的几何意义的合理运用．