Question

19．已知函数f（x）=m-$\frac{1}{{5}^{x}+1}$
（1）若f（x）是R上的奇函数，求m的值
（2）用定义证明f（x）在R上单调递增
（3）若f（x）值域为D，且D⊆[-3，1]，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义可得f（x）+f（-x）=0恒成立，由此可求得m值；
（2）设 x₁＜x₂且x₁，x₂∈R，利用作差证明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（3）先根据反比例函数的单调性求出值域D，然后由D⊆[-3，1]可得关于m的不等式组，解出即可；

解答 （1）解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）+f（-x）=m-$\frac{1}{{5}^{x}+1}$+m-$\frac{1}{{5}^{-x}+1}$=0，
即2m-（ $\frac{1}{{5}^{x}+1}$+$\frac{{5}^{x}}{{5}^{x}+1}$）=0⇒2m-1=0，
解得m=$\frac{1}{2}$；
（2）设 x₁＜x₂且x₁，x₂∈R，
则f（x1）-f（x2）=m-$\frac{1}{{5}^{{x}_{1}}+1}$-（m-$\frac{1}{{5}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{{5}^{{x}_{1}}{-5}^{{x}_{2}}}{{（5}^{{x}_{2}}+1）（{5}^{{x}_{1}}+1）}$，
∵x₁＜x₂∴${5}^{{x}_{1}}+1＞0$，${5}^{{x}_{2}}+1＞0$
${5}^{{x}_{1}}-{5}^{{x}_{2}}＜0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上单调递增；
（3）由$0＜\frac{1}{{5}^{x}+1}＜1$，所以m-1＜f（x）＜m，f（x）值域为D，且D⊆[-3，1]，
∴D=（m-1，m），
∵D⊆[-3，1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}m-1≥-3\\ m≤1\end{array}\right.$，
∴m的取值范围是[-2，1]．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的应用及单调性的证明，属基础题，定义是解决相关问题的基本方法，要熟练掌握．