Question

7．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1）=1，且对于任意的x＞0，f′（x）＜x恒成立，则不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$的解集为（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （1，+∞）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$，求导g′（x）=f′（x）-x，从而确定不等式的解集．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$，
g′（x）=f′（x）-x，
∵对任意的x∈R．都有f′（x）＜x成立，
∴对任意的x∈R，g′（x）＜0，
∴g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$在R上是减函数，
且g（1）=f（1）-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0，
故不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$的解集为（1，+∞），
故选B．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用．