题目内容
11．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B，A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：| ωx+φ | 0 | $\frac{π}{2}$ | π | $\frac{3π}{2}$ | 2π |
| x | x1 | $\frac{1}{3}$ | x2 | $\frac{7}{3}$ | x3 |
| Asin（ωx+ϕ）+B | 0 | $\sqrt{3}$ | 0 | -$\sqrt{3}$ | 0 |
（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移$\frac{2}{3}$个单位得到函数g（x），当x∈[0，4]时其图象的最高点和最低点分别为P，Q，求$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{QP}$夹角θ的大小．
分析 （1）$由\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}ω+ϕ=\frac{π}{2}}\\{\frac{7}{3}ω+ϕ=\frac{3π}{2}}\end{array}}\right.，得\left\{{\begin{array}{l}{ω=\frac{π}{2}}\\{ϕ=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$，由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{π}{2}{x_1}+\frac{π}{3}=0}\\{\frac{π}{2}{x_2}+\frac{π}{3}=π}\\{\frac{π}{2}{x_3}+\frac{π}{3}=2π}\end{array}}\right.$，解得x1、x2、x3的值，再求得A，B即可得解函数f（x）的解析式．
（2）根据三角函数图象变换规律可得：$g（x）=\sqrt{3}sin\frac{π}{2}x$，求得图象的最高点和最低点P，Q的坐标，可得向量$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{QP}$坐标，由平面向量的数量积运算即可求得夹角θ的大小．
解答 解：（1）$由\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}ω+ϕ=\frac{π}{2}}\\{\frac{7}{3}ω+ϕ=\frac{3π}{2}}\end{array}}\right.，得\left\{{\begin{array}{l}{ω=\frac{π}{2}}\\{ϕ=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$（2′）
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{π}{2}{x_1}+\frac{π}{3}=0}\\{\frac{π}{2}{x_2}+\frac{π}{3}=π}\\{\frac{π}{2}{x_3}+\frac{π}{3}=2π}\end{array}}\right.$，
∴${x_1}=-\frac{2}{3}$，${x_2}=\frac{4}{3}$，${x_3}=\frac{10}{3}$（5′）
又∵$A=\sqrt{3}，B=0$，$f（x）=\sqrt{3}sin（\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}）$；（6′）
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{2}{3}$个单位后得到$g（x）=\sqrt{3}sin\frac{π}{2}x$（8′）
故最高点为$P（{1，\sqrt{3}}）$，最低点为$Q（{3，-\sqrt{3}}）$．
则$\overrightarrow{OQ}=（{3，-\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{QP}=（{-2，2\sqrt{3}}）$，则$cosθ=\frac{{\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{QP}}}{{|{\overrightarrow{OQ}}|•|{\overrightarrow{QP}}|}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（10′）
故$θ=\frac{5π}{6}$．（12′）
点评 本题主要考查了五点法作正弦函数的图象，三角函数的图象变换规律，考查了平面向量及其应用，熟练掌握和灵活应用相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．
| A． | $\frac{1}{{2\sqrt{x}}}$ | B． | $\frac{1}{{\sqrt{x}}}$ | C． | $\frac{2}{x}$ | D． | $\frac{1}{2x}$ |
| A． | 已知F1（-4，0），F2（4，0），到两点F1，F2的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆 | |
| B． | 已知F1（-4，0），F2（4，0），到两点F1，F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 | |
| C． | 到点F1（-4，0），F2（4，0）的距离之和等于从点（5，3）到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 | |
| D． | 到点F1（-4，0），F2（4.0）距离相等的点的轨迹是椭圆 |