Question

9．已知复数z满足：|z|=1+3i-z．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若z₁=$\frac{（1+i）^{2}（-7+24i）}{2z}$，求$\overline{{z}_{1}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设z=a+bi（a，b∈R），而|z|=1+3i-z，化为$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$-1-3i+a+bi=0，利用复数相等即可得出．
（II）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设z=a+bi（a，b∈R），而|z|=1+3i-z，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$-1-3i+a+bi=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+a-1=0}\\{b-3=0}\end{array}\right.$，解得a=-4，b=3．
∴z=-4+3i．
（Ⅱ）z₁=$\frac{（1+i）^{2}（-7+24i）}{2z}$=$\frac{2i（-7+24i）}{2（-4+3i）}$=$\frac{24+7i}{4-3i}$=$\frac{（24+7i）（4+3i）}{（4-3i）（4+3i）}$=$\frac{75+100i}{25}$=3+4i，
∴$\overline{{z}_{1}}$=3-4i．

点评 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．