Question

9．P是双曲线C：$\frac{x^2}{2}-{y^2}$=1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F₁是双曲线C的左焦点，则|PF₁|+|PQ|的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $2+\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• C． $4+\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• D． $2\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 依题意，当且仅当Q、P、F₂三点共线，且P在F₂，Q之间时，|PF₂|+|PQ|最小，且最小值为F₂到l的距离，从而可求得|PF₁|+|PQ|的最小值．

解答 解：设右焦点分别为F₂，
∵∴|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{2}$，
∴|PF₁|=|PF₂|+2$\sqrt{2}$，
∴|PF₁|+|PQ|=|PF₂|+2$\sqrt{2}$+|PQ|，
当且仅当Q、P、F₂三点共线，且P在F₂，Q之间时，|PF₂|+|PQ|最小，且最小值为F₂到l的距离，
可得l的方程为y=$±\frac{1}{\sqrt{2}}$x，F₂（$\sqrt{3}，0$），F₂到l的距离d=1
∴|PQ|+|PF₁|的最小值为2$\sqrt{2}$+1．
故选D．

点评 本题考查双曲线的简单性质，利用双曲线的定义将|PF₁|转化为|PF₂|+2$\sqrt{2}$是关键，考查转化思想，属于中档题．