Question

17．在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C对应的三边，已知b²+c²=a²+bc
（1）求角A的大小；
（2）若2sin²$\frac{B}{2}$=cosC，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简2sin²$\frac{B}{2}$=cosC，可得sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，结合范围B∈（0，π），可求
∴B=C=$\frac{π}{3}$，即可判断三角形的形状．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）在△ABC中，由余弦定理得b²+c²-a²=2bccosA，又b²+c²=a²+bc，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．                         …（5分）
（2）∵2sin²$\frac{B}{2}$=cosC，
∴cosB+cosC=1，…（7分）
∴cosB+cos（$\frac{2π}{3}$-B）=1，可得：cosB+cos$\frac{2π}{3}$cosB+sin$\frac{2π}{3}$sinB=1，…（9分）
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB=1，可得：sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{π}{3}$，…（11分）
∴△ABC是等边三角形．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的形状，考查了转化思想，属于基础题．