Question

若关于x的方程ax³-3x²+1=0正实数解有且仅有一个，则实数a的取值范围是（　　）

• A、{a|a≤0}
• B、{a|a≤0或a=2}
• C、{a|a≥0}
• D、{a|a≥0或a=-2}

Answer 1

考点：函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：有且仅有一个正数解”转化为“f（x）=ax³-3x²+1的图象与x正半轴有且仅有一个交点”，然后对函数f（x）进行求导，根据导数的正负判断函数的单调性并求出极小值，进而求解即可．

解答： J解：设f（x）=ax³-3x²+1
∵f'（x）=3x（ax-2）
当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解

3

3

；
当a＞0时，令f'（x）＞0，f'（x）＜0，
得f（x）在（-∞，0）和（

2

a

，+∞）上单调递增，在（0，

2

a

）上单调递减，
f（0）=1，知若要满足条件只有x=

2

a

时f（x）取到极小值0．
x=

2

a

代入原方程得到a=2，正数解为x=1；
当a＜0时，同理f（x）在（-∞，

2

a

）和（0，+∞）上单调递增，在（

2

a

，0）上单调递减，
f（0）=1＞0，所以此时不存在满足条件的a；
故实数a的取值范围是（0，+∞）；
故选C．

点评：本题主要考查根的存在性和区间的判定、根据导数的正负判断函数的单调性问题．考查基础知识的综合运用．