题目内容
已知函数f（x）=2x2-1
（Ⅰ）用定义证明f（x）是偶函数；
（Ⅱ）用定义证明f（x）在（-∞，0）上是减函数．
（Ⅰ）用定义证明f（x）是偶函数；
（Ⅱ）用定义证明f（x）在（-∞，0）上是减函数．
考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明
专题：证明题,函数的性质及应用
分析：（Ⅰ）由偶函数的定义即可证明；
（Ⅱ）根据定义法证明单调性的步骤即可证明．
（Ⅱ）根据定义法证明单调性的步骤即可证明．
解答：
（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域为R，对于任意的x∈R，都有f（-x）=2（-x）2-1=2x2-1=f（x），∴f（x）是偶函数．
（Ⅱ）证明：在区间（-∞，0]上任取x1，x2，且x1＜x2，则有
f(x1)-f(x2)=(2x12-1)-(2x22-1)=2(x12-x22)=2(x1-x2)•(x1+x2)，
∵x1，x2∈（-∞，0]，x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1+x2＜0，
即（x1-x2）•（x1+x2）＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x）在（-∞，0）上是减函数．
（Ⅱ）证明：在区间（-∞，0]上任取x1，x2，且x1＜x2，则有
f(x1)-f(x2)=(2x12-1)-(2x22-1)=2(x12-x22)=2(x1-x2)•(x1+x2)，
∵x1，x2∈（-∞，0]，x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1+x2＜0，
即（x1-x2）•（x1+x2）＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x）在（-∞，0）上是减函数．
点评：本题考查函数奇偶性与单调性的证明，属于基本概念与基本方法考查题，此类题要求熟练掌握，保证不失分．
练习册系列答案
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