Question

5．已知函数f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是定义在R上的奇函数，则f（1）=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，由函数为奇函数分析可得f（0）=0，即a=0，又由函数f（x）为奇函数，则有f（-x）=-f（x），即$\frac{-x}{{x}^{2}-bx+1}$=-$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$，分析可得b的值，即可得函数f（x）的解析式，将x=1代入函数的解析式即可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是定义在R上的奇函数，
则有f（0）=a=0，即a=0，
则f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$，
又由函数f（x）为奇函数，则有f（-x）=-f（x），
即$\frac{-x}{{x}^{2}-bx+1}$=-$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$，
解可得b=0，
则f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
则f（1）=$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，关键是利用奇偶性的性质求出a、b的值．