Question

9．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率e=$\frac{1}{2}$，动点P在椭圆C上，点P到椭圆C的两个焦点的距离之和是4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C₁的方程为$\frac{x^2}{m^2}$+$\frac{y^2}{n^2}$=1（m＞n＞0），椭圆C₂的方程为$\frac{x^2}{m^2}$+$\frac{y^2}{n^2}$=λ（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆C₂是椭圆C₁的λ倍相似椭圆．已知椭圆C₂是椭圆C的3倍相似椭圆．若过椭圆C上动点P的切线l交椭圆C₂于A，B两点，O为坐标原点，试证明当切线l变化时|PA|=|PB|并研究△OAB面积的变化情况．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的定义可得a=2，再由离心率公式和a，b，c的关系，即可得到b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）依题意，求得椭圆C₂方程，讨论直线的斜率不存在，得到|PA|=|PB|和面积为定值；当切线l的斜率存在时，设l的方程为：y=kx+m，代入椭圆C₂方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得|PA|=|PB|，由弦长公式，和点到直线的距离公式，结合面积公式，计算即可得到面积为定值．

解答 解：（Ⅰ）依题意，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
由椭圆的定义可得2a=4，即a=2，
即有c=1，b²=a²-c²=3，
则椭圆C方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）椭圆C的3倍相似椭圆C₂的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=3；
①若切线l垂直于x轴，则其方程为：x=±2，解得y=±$\sqrt{6}$，
显然|PA|=|PB|，|AB|=2$\sqrt{6}$，△OAB面积为$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{6}$=2$\sqrt{6}$；
②若切线l不垂直于x轴，可设其方程为：y=kx+m．
将y=kx+m代入椭圆C方程，得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（4k²+3-m²）=0，
即m²=4k²+3，
设A，B两点的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），
将y=kx+m代入椭圆C₂的方程，得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-36=0，
此时x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-36}{3+4{k}^{2}}$，
则AB的中点为（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），即为（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$），
代入椭圆C的方程，可得$\frac{16{k}^{2}}{4{m}^{2}}$+$\frac{9}{3{m}^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}+3}{{m}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}}$=1，
满足椭圆方程，则|PA|=|PB|成立；
即有|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{m}^{2}-144}{3+4{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3（12{k}^{2}+9-{m}^{2}）}}{3+4{k}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{6}}{|m|}$．
又点O到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
可得S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|d=2$\sqrt{6}$，
综上，当切线l变化时，△OAB的面积为定值2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查椭圆的定义和方程及性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理及中点坐标公式和弦长公式，考查运算求解能力，属于中档题．