Question

10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，若$\frac{{|f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）|}}{2}＜f（1）$，则f（x）的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，e）
• C． （$\frac{1}{e}$，e）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 由奇函数的性质和条件判断f（x）在R上的单调性，由奇函数的定义和单调性化简不等式，利用对数函数的性质求出x的范围，即可得答案．

解答 解：∵f（x）是在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数，
∴$\frac{|f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）|}{2}＜f（1）$可化为：$\frac{|f（lnx）-f（-lnx）|}{2}＜f（1）$，
即|f（lnx）|＜f（1），∴-f（1）＜f（lnx）＜f（1），
∴f（-1）＜f（lnx）＜f（1），
则-1＜lnx＜1，即ln$\frac{1}{e}$＜lnx＜lne，解得$\frac{1}{e}$＜x＜e，
∴不等式的解集是（$\frac{1}{e}$，e），
故选：C．

点评 本题考查奇函数的性质及单调性，对数函数的性质的综合应用，考查转化思想，属于中档题．