Question

19．已知抛物线y²=8x，离心率为2的双曲线$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{n}$=1与它有公共焦点F，若P是两曲线的一个公共点，则△OPF（O为坐标原点）的面积为（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． 2$\sqrt{6}$
• C． 3
• D． 6

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点F，可得m+n=4，再由离心率公式可得m=1，n=3，联立双曲线的方程和抛物线的方程，求得交点P，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：抛物线y²=8x的焦点F（2，0），
离心率为2的双曲线$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{n}$=1，可得
m+n=4，$\frac{m+n}{m}$=4，
解得m=1，n=3，
双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{3{x}^{2}-{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，解得交点P（3，±2$\sqrt{6}$），
则△OPF（O为坐标原点）的面积为
$\frac{1}{2}$|OF|•|y_P|=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{6}$=2$\sqrt{6}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查抛物线的焦点坐标，以及三角形的面积的求法，运算求解能力，属于中档题．