Question

1．已知函数f（x）=ax²-4ln（x-1），a∈R
（1）若$a=\frac{1}{2}$，求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）已知点P（1，1）和函数f（x）图象上的动点M（mf（m）），对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把$a=\frac{1}{2}$代入函数解析式，求出导函数，得到f′（2）与f（2），代入直线方程的点斜式得答案；
（2）若对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，则f（x）在[2，e+1]上的最大值小于1，求出原函数的导函数，f′（x）=$\frac{2（a{x}^{2}-ax-2）}{x-1}$，x∈（1，+∞）．
构造函数g（x）=ax²-ax-2，对a分类，然后借助于二次函数的性质分析f（x）在（1，+∞）上的单调性，进一步求出f（x）在（1，+∞）上的最大值，由最大值小于1求得a的取值范围．

解答 解：（1）当$a=\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-4ln（x-1），则f（2）=2，
∵f′（x）=x-$\frac{4}{x-1}$，∴f′（2）=-2．
则所求的切线方程为y-2=-2（x-2），即2x+y-6=0；
（2）若对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，
则f（x）在[2，e+1]上的最大值小于1，
f′（x）=2ax-$\frac{4}{x-1}$=$\frac{2（a{x}^{2}-ax-2）}{x-1}$，x∈（1，+∞）．
令g（x）=ax²-ax-2，
当a=0时，f（x）=-4ln（x-1）在[2，e+1]上单调递减，
f（x）_max=f（2）=0＜1，显然成立，∴a=0；
当a＜0时，二次函数g（x）的图象开口向下，且g（0）=-2，g（1）=-2，
?x∈（1，+∞），g（x）＜0，故f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，
故f（x）在[2，e+1]上单调递减，f（x）_max=f（2）=4a＜1，显然成立，∴a＜0；
当a＞0时，二次函数g（x）的图象开口向上，且g（0）=-2，g（1）=-2，
则存在x₀∈（1，+∞），当x∈（1，x₀）时，g（x）＜0，当x∈（x₀，+∞）时，g（x）＞0．
∴f（x）在（1，+∞）内先减后增，
故f（x）在[2，e+1]上的最大值只能是f（2）或f（c+1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）＜1}\\{f（c+1）＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4a＜1}\\{a（c+1）^{2}-4＜1}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{1}{4}$．
综上，a＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查二次函数性质的应用，体现了数学转化思想方法，考查推理论证能力与计算能力，是压轴题．