Question

14．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）设PD=AD=1，求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）证明BD⊥AD．又PD⊥底面ABCD，所以BD⊥PD．可得BD⊥平面PAD，即可证明PA⊥BD；
（2）作DE⊥PB，垂足为E．已知PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC，由DE•PB=PD•BD，得DE，即可求点D到平面PBC的距离．

解答 （1）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，
由余弦定理，得BD=$\sqrt{3}$AD．
所以BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD．
又PD⊥底面ABCD，所以BD⊥PD．
所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD．
（2）解：如图，作DE⊥PB，垂足为E．已知PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC．
由（1）知BD⊥AD，因为BC∥AD，所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面PBD，BC⊥DE．则DE⊥平面PBC，
即DE为棱锥D-PBC的高．由PD=AD=1知BD=$\sqrt{3}$，PB=2．
由DE•PB=PD•BD，得DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．所以点D到平面PBC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．