Question

11．已知函数f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函数的奇偶性的定义，证明该函数为奇函数．
（Ⅱ）利用反函数法求得a^x的解析式，结合a^x＞0，求得y的范围，可得f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）为奇函数．
证明：由于函数f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$（a＞0且a≠1）的定义域为R，关于原点对称，
且满足f（-x）=$\frac{{a}^{-x}-1}{{a}^{-x}+1}$=$\frac{1{-a}^{x}}{1{+a}^{x}}$=-f（x），故函数f（x）为奇函数．
（Ⅱ）∵y=f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$，求得 a^x=$\frac{1+y}{1-y}$＞0，∴$\frac{y+1}{y-1}$＜0，即（y+1）•（y-1）＜0，∴-1＜y＜1，
故f（x）的值域为（-1，1）．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的定义，指数函数的值域，解一元二次不等式，属于基础题．