Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a₃=3，且对n∈N⁺，a_n•a_n+1•a_n+2•a_n+3=24，则其前2013项和S₂₀₁₃=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知，a_n•a_n+1•a_n+2•a_n+3=24，以n+1代n，得出a_n+1•a_n+2•a_n+3•a_n+4=24，两式相除可推断出a_n+4=a_n，进而可知数列{a_n}是以4为周期的数列，只要看2013是4的多少倍，然后a₁=1，a₂=2，a₃=3，求出a₄，而2013是4的503倍余1，故可知S₂₀₁₃=503×（1+2+3+4）+1答案可得．

解答： 解：依题意可知，a_n•a_n+1•a_n+2•a_n+3=24，以n+1代n，得出a_n+1•a_n+2•a_n+3•a_n+4=24，
两式相除可推断出a_n+4=a_n，
∴数列{a_n}是以4为周期的数列，
求得a₄=4．
∴S₂₀₁₃=503×（1+2+3+4）+1=5031
故答案为：5031．

点评：本题主要考查了数列的递推式和数列的求和问题．本题的关键是找出数列的周期性，是中档题．