Question

6．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=a，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是平行四边形，点M在线段EF上．
（1）求证：BC⊥平面ACEF；
（2）当FM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由已知可得△ADC是等腰三角形，且∠BDC=∠ADC=120°，解得BC⊥AC，又平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，即可证明BC⊥平面ACEF；
（2）在Rt△ACB解得AC=$\sqrt{3}$a，AB=2a，在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接EN，有：CN：NA=1：2，又ACEF是平行四边形，FM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，可得EF=AC=$\sqrt{3}a$，且FM：ME=1：2，从而证明四边形EMAN为平行四边形，AM∥NE，即可得证AM∥平面BDE．

解答 解：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=a，∠ABC=60°，
∴△ADC是等腰三角形，且∠BDC=∠ADC=120°，
∴∠DCA=∠DAC=30°，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ACEF；…7分
（2）当FM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，AM∥平面BDE，
证明：在Rt△ACB，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=a，
∴AC=$\sqrt{3}$a，AB=2a，
∴在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接EN，
则有：CN：NA=1：2，
又∵ACEF是平行四边形，FM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴EF=AC=$\sqrt{3}a$，且FM：ME=1：2，
∴EM=AN，又EM∥AN，
∴四边形EMAN为平行四边形，AM∥NE，
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE…14分

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．