Question

对于定义域为D的函数y=f（x）和常数C，若对任意正实数ξ，存在x∈D，使得0＜|f（x）-c|＜ξ恒成立，则称函数y=f（x）为“敛C函数”．现给出如下函数：
①f（x）=x（x∈Z）； ②f（x）=（

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）^x+1（x∈Z）；③f（x）=log₂x；
其中为“敛1函数”的有（　　）

• A、②
• B、①③
• C、②③
• D、①③

Answer 1

考点：函数的值域

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：由“敛C函数”的定义可知，当自变量x趋近于某个值或无穷大时，函数值y无限趋近于一个常数C，由此性质对三个函数逐一判断

解答： 解：对于函数①f（x）=x，取ξ=

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，因为x∈Z，找不到x，使得0＜|x-1|＜

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成立，所以函数①不是“敛1函数”；
对于函数②f(x)=(

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)x+1(x∈z)，当x→+∞时，(

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)x→0，所以，(

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) x+1→1，对任意正实数ξ，总能找到一个足够大的正整数x，
使得0＜|f（x）-1|＜ξ，故函数②是“敛1函数
对于函数③f（x）=log₂x，当x→2时，log₂x→log₂2=1，所以对于无论多大或多小的正数ξ，总会找到一个x，使得0＜|f（x）-1|＜ξ成立
故函数③是“敛1函数”；
故选C

点评：本题主要是考查对“敛C函数”的定义准确理解，属于中档题