Question

求f（x）=

1+sinx-2sin2( π 4 - x 2 )

4sin x 2

-

3

sin

x

2

的最大值及取最大值时相应的x的集．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=2cos（

x

2

+

π

3

），再根据余弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值及取最大值时相应的x的集合．

解答： 解：f（x）=

1+sinx-2sin2( π 4 - x 2 )

4sin x 2

-

3

sin

x

2

=

cos( π 2 -x)+sinx

4sin x 2

-

3

sin

x

2

=

2×2sin x 2 cos x 2

4sin x 2

-

3

sin

x

2

 
=cos

x

2

-

3

sin

x

2

=2（

1

2

cos

x

2

-

3

2

sin

x

2

）=2cos（

x

2

+

π

3

），
故当

x

2

+

π

3

=2kπ，k∈z时，即当x=4kπ-

2π

3

，k∈z时，函数f（x）取得最大值为2；
故当

x

2

+

π

3

=2kπ+π，k∈z时，即当x=4kπ+

4π

3

，k∈z时，函数f（x）取得最小值为-2．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．