Question

11．设非零向量$\overrightarrow m$，$\overrightarrow n$，θ=＜$\overrightarrow m，\overrightarrow n＞$，规定：$\overrightarrow m$?$\overrightarrow n$=|$\overrightarrow m$||$\overrightarrow n$|sinθ，点M，N分别是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的上顶点和右顶点，且$\overrightarrow{OM}$?$\overrightarrow{ON}$=$\sqrt{3}$，离心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C与直线y=kx+m交于不同两点P，Q，又点A（0，-1），当|AP|=|AQ|时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用新定义得到ab的方程，利用离心率以及椭圆中a、b、c的关系，求解a，b即可得到椭圆的方程．
（2）①当k=0时，-1＜m＜1②当k≠0时，联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消去y，利用判别式，推出m²＜1+3k²，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点R（x₀，y₀）利用韦达定理求出中点坐标，当|AP|=|AQ|时，点A，R在PQ的中垂线上，求出PQ的中垂线方程为：$y=-\frac{1}{k}x-1$，代入得到2m=3k²+1，然后求解m的范围．

解答 解：（1）由题意可得：M（0，b），N（a，0），
∴$\overrightarrow{OM}?\overrightarrow{ON}=|\overrightarrow{OM}||\overrightarrow{ON}|sin\frac{π}{2}=ab=\sqrt{3}$，
又$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，且a²=b²+c²，
∴a²=3，b²=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（2）由条件知A（0，-1）为椭圆下顶点
①当k=0时，-1＜m＜1；
②当k≠0时，联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消去y可得：（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴△=36k²m²-4（3k²+1）（3m²-3）＞0
∴m²＜1+3k²
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点R（x₀，y₀）
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{6km}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-3}}{{3{k^2}+1}}$
∴${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{3km}{{3{k^2}+1}}$${y_0}=k{x_0}+m=\frac{m}{{3{k^2}+1}}$，即$R（-\frac{3km}{{3{k^2}+1}}，\frac{m}{{3{k^2}+1}}）$
当|AP|=|AQ|时，点A，R在PQ的中垂线上
据题意可得PQ的中垂线方程为：$y=-\frac{1}{k}x-1$
∴$\frac{m}{{3{k^2}+1}}=-\frac{1}{k}•（-\frac{3km}{{3{k^2}+1}}）-1$
∴2m=3k²+1
故$\left\{\begin{array}{l}{m^2}＜2m\\ 2m＞1\end{array}\right.$，∴$\frac{1}{2}＜m＜2$
综上m的范围是（-1，2）．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，范围问题的求解的方法，设而不求的方法，考查转化思想以及计算能力．