Question

10．如图，四边形ABCD为正方形，以AB为直径 的半圆E与以C为圆心CB为半径的圆弧相交于点P，过点P作圆C的切线PF交AD于点F，连接CP．
（Ⅰ）证明：CP是圆E的切线；
（Ⅱ）求$\frac{AF}{PF}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：CP是圆E的切线，只需证明CP⊥PE即可；
（Ⅱ）证明FD=FP，利用勾股定理，即可求$\frac{AF}{PF}$的值．

解答 （Ⅰ）证明：连接PB，PE，则EB=EP，
∴∠EPB=∠EBP．
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
∴∠CPB+∠EPB=∠CBP+∠EBP=90°，
∴CP⊥PE，
∵PE是圆E的半径，
∴CP是圆E的切线；
（Ⅱ）解：由题意，PF⊥CP，EP⊥CP，
∴E，P，F三点共线，
∵FD为圆的切线，
∴FD=FP．
∵PE=EB，
∴Rt△EAF中，AF²+AE²=EF²，
∴（AD-PF）²+（$\frac{AD}{2}$）²=（PF+$\frac{AD}{2}$）²，
∴AD=3PF，
∴AF=2PF，
∴$\frac{AF}{PF}$=2．

点评 本题考查圆的切线的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．