Question

已知函数f（x）=lg（1+2x），F（x）=f（x）-f（-x）．
（1）判断函数F（x）的奇偶性并加以证明；
（2）求满足不等式F（x）≥0的x的范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）先判断后证明，求函数的定义域，再判断F（-x）=lg（1-2x）-lg（1+2x）=-（lg（1+2x）-lg（1-2x））=-F（x），从而得证；
（2）利用函数的单调性可得，

1+2x≥1-2x - 1 2 ＜x＜ 1 2

，解出即可．

解答： 解：（1）F（x）为奇函数，证明如下：
∵F（x）=f（x）-f（-x）
=lg（1+2x）-lg（1-2x），
∴

1+2x＞0 1-2x＞0

，
∴-

1

2

＜x＜

1

2

．
即F（x）的定义域为（-

1

2

，

1

2

）．
又∵F（-x）=lg（1-2x）-lg（1+2x）
=-（lg（1+2x）-lg（1-2x））=-F（x），
∴F（x）为奇函数．
（2）、由F（x）≥0，得lg（1+2x）≥lg（1-2x），
即

1+2x≥1-2x - 1 2 ＜x＜ 1 2

解得0≤x＜

1

2

．

点评：本题考查了函数的奇偶性的证明，注意求其定义域，同时考查了利用函数的单调性解不等式的方法，属于基础题．