Question

5．$\lim_{n→∞}\frac{{n•{3^n}}}{{n{{（x-2）}^n}+n•{3^{n+1}}-{3^n}}}=\frac{1}{3}$则实数x的取值范围是（　　）

• A． [-1，5]
• B． （-1，5）
• C． [-1，5]
• D． （-5，5）

Answer 1

分析 对原式分子分母同除以n•3ⁿ，可得$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0，$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{x-2}{3}$）ⁿ=0，解不等式|$\frac{x-2}{3}$|＜1，即可得到所求范围．

解答 解：$\lim_{n→∞}\frac{{n•{3^n}}}{{n{{（x-2）}^n}+n•{3^{n+1}}-{3^n}}}=\frac{1}{3}$，即为
$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{（\frac{x-2}{3}）^{n}+3-\frac{1}{n}}$=$\frac{1}{3}$，
即有$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0，$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{x-2}{3}$）ⁿ=0，
即为|$\frac{x-2}{3}$|＜1，解得-1＜x＜5．
故选：B．

点评 本题考查数列的极限的求法，注意常见数列的极限，考查运算能力，属于中档题．