Question

10．已知a，b，c＞0，求证：$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{2c}$≥$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式可知2（$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2b}$）≥$\frac{1}{2\sqrt{ab}}$≥$\frac{1}{a+b}$，进而利用对称性相加即得结论．

解答 证明：∵已知a，b，c＞0，
∴2（$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2b}$）≥$\frac{1}{2\sqrt{ab}}$≥$\frac{1}{a+b}$，
2（$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{2c}$）≥$\frac{1}{2\sqrt{bc}}$≥$\frac{1}{b+c}$，
2（$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2c}$）≥$\frac{1}{2\sqrt{ac}}$≥$\frac{1}{c+a}$，
∴$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{2c}$≥$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$．

点评 本题考查不等式的证明，利用基本不等式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．