Question

20．如图所示，过抛物线C：x²=4y的对称轴上一点P（0，m）（m＞0）作直线l与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，点Q是点P关于原点的对称点．
（Ⅰ） 求证：x₁x₂=-4m；
（Ⅱ） 若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，且$\overrightarrow{QP}$⊥（$\overrightarrow{QA}$-μ$\overrightarrow{QB}$），求证：λ=μ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出直线l的方程，得到方程组，表示出x₁•x₂即可；（Ⅱ）由$\overrightarrow{QP}$⊥（$\overrightarrow{QA}$-μ$\overrightarrow{QB}$），表示出关于λ，μ的方程，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）设l方程为：y=kx+m，由

$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$得：x²-4kx-4m=0，
所以x₁•x₂=-4m；
（Ⅱ） $\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，得$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=λ，
由$\overrightarrow{QP}$⊥（$\overrightarrow{QA}$-μ$\overrightarrow{QB}$），
得2m[y₁-μy₂+（1-μ）m]=0，
从而$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-μ$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+（1-μ）m=0，
把x₁•x₂=-4m；
代入上式得${（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）}^{2}$-（1-μ）$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-μ=0，
则λ²+（1-μ）λ-μ=0，
所以λ=-1或λ=μ，而显然λ＞0，
所以λ=μ．

点评 本题考查了抛物线问题，考查向量的垂直的性质，考查转化思想，是一道中档题．