Question

15．在平面直角坐标系xoy中，以C（1，-2）为圆心的圆与直线x+y+3$\sqrt{2}$+1=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线L，使得圆C上存在两点M，N关于L对称，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由．
（3）求圆C的过原点弦长最短的弦所在直线的方程．

Answer 1

分析 （1）设出圆的标准方程，求出圆的半径r，写出该圆的方程；
（2）假设存在满足题意的直线，方程为y=x+m，则直线必过圆心，把圆心坐标代入直线方程求得m，则直线方程可求；
（3）求出经过原点和圆心的直线的斜率，得到过原点且与该直线垂直的直线的斜率，则圆C的过原点弦长最短的弦所在直线的方程可求．

解答 解：（1）设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
依题意得，a=1，b=-2；
∴该圆的半径为r=$\frac{|1-2+3\sqrt{2}+1|}{\sqrt{2}}=3$，
∴该圆的方程是（x-1）²+（y+2）²=9；
（2）设存在满足题意的直线，且此直线方程为y=x+m，则直线必过圆心，
∴-2=1+m，即m=-3．
∴直线方程为y=x-3；
（3）经过原点和圆心的直线的斜率为k=$\frac{-2-0}{1-0}=-2$，
∴过原点且与该直线垂直的直线的斜率为$\frac{1}{2}$，直线方程为y=$\frac{1}{2}x$．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，考查直线与圆相切、圆的基本性质等问题，是中档题．