Question

已知函数f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定义域为[-1，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）若方程g（x）=m有解，求m的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质,有理数指数幂的化简求值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用指数函数的性质求出a的值，然后求g（x）的解析式．
（2）根据指数函数的性质，利用换元法转化为一元二次函数求值域，进而可得m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=3^x，f（a+2）=18，
∴3^a+2=9•3^a=18，
即3^a=2，
∴a=log₃2，
∴g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x=3log32•x-4^x=2^x-4^x．
（2）∵g（x）=2^x-4^x=-（2^x-

1

2

）²+

1

4

，
∵-1≤x≤1，
∴

1

2

≤2x≤2，
∴设t=2^x，则

1

2

≤t≤2，
则函数g（x）等价为h（t）=-（t-

1

2

）²+

1

4

，
∴h（t）单调递减，
∴-2≤h（t）≤

1

4

，
即函数g（x）的值域为[-2，

1

4

]．
若方程g（x）=m有解，
则m∈[-2，

1

4

]，
故m的取值范围为[-2，

1

4

]．

点评：本题主要考查指数函数和二次函数的性质，利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数是解决本题的关键．