Question

4．已知四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=4，则点A到平面BCD的距离是（　　）

• A． $\frac{2}{{\sqrt{21}}}$
• B． $\frac{3}{{\sqrt{21}}}$
• C． $\frac{4}{{\sqrt{21}}}$
• D． $\frac{5}{{\sqrt{21}}}$

Answer 1

分析 如图所示，设点A到平面BCD的距离是h．由AB、AC、AD两两垂直，利用勾股定理可得：AD，BC，CD．在△BCD中，由余弦定理可得：cos∠BCD，于是S_△BCD=$\frac{1}{2}BC•CD•$sin∠BCD，利用V_A-BCD=V_D-ABC，即可得出．

解答 解：如图所示，设点A到平面BCD的距离是h．
∵AB、AC、AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=4，
由勾股定理可得：AD=$\sqrt{17}$，BC=$\sqrt{5}$，CD=2$\sqrt{5}$．
在△BCD中，由余弦定理可得：cos∠BCD=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{17}）^{2}}{2×\sqrt{5}×2\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$，
∴sin∠BCD=$\frac{\sqrt{21}}{5}$．
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}BC•CD•$sin∠BCD=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{21}}{5}$=$\sqrt{21}$．
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}×1×2$=1，
∵V_A-BCD=V_D-ABC，
∴$\frac{1}{3}×{S}_{△BCD}$×h=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}$×AD，
∴h=$\frac{1×4}{\sqrt{21}}$=$\frac{4}{\sqrt{21}}$．
故选：C．

点评 本题考查了空间位置关系、线面面面垂直的判定与性质定理、勾股定理、余弦定理、三角形面积与三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．