Question

（本小题满分12分）已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与直线：垂直，求的值；

（2）讨论函数的单调性；若存在极值点，求实数的取值范围.

Answer 1

（1），

，

因为与直线：垂直，

得，解得. 4分

（2），

当时，在上恒成立，的单调递增区间为，无递减区间；

当时，由，，解得，；

由，，解得，；

由，，解得，；

此时的单调递增区间为，的单调递减区间为

综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；

当时，的单调递增区间为，

的单调递减区间为. 9分

若存在极值点，由函数的单调性知，且；

由，解得.

所求实数的取值范围为. 12分

【解析】

试题分析（1）求出y=f（x）在点处的导数值，结合切线l切与直线l：x+2y﹣2=0垂直，求a的值；

（2）求出原函数的导函数，分a≥0和a＜0讨论，当a＜0时求出原函数的零点，得到函数的单调期间，求出极值点，由极值点x0∈（1，2）列不等式求得a的取值范围．

考点：利用导数研究切线方程；利用导数研究函数的极值．