Question

18．已知f（x）=log₃（1+x）-log₃（1-x）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）已知函数g（x）=log${\;}_{\sqrt{3}}$$\frac{1+x}{k}$，当x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]时，不等式 f（x）≥g（x）有解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）为奇函数，理由：求得定义域，计算f（-x）与f（x）比较即可得证；
（2）由题意可得log₃$\frac{1+x}{1-x}$≥log₃$\frac{（1+x）^{2}}{{k}^{2}}$，即$\frac{1+x}{1-x}$≥$\frac{（1+x）^{2}}{{k}^{2}}$，即k²≥1-x²，求得1-x²的最小值即可得到k的范围．

解答 解：（1）f（x）=log₃（1+x）-log₃（1-x）为奇函数．
理由：1+x＞0且1-x＞0，得定义域为（-1，1），（2分）
又f（-x）=log₃（1-x）-log₃（1+x）=-f（x），
则f（x）是奇函数．（4分）
（2）g（x）=log${\;}_{\sqrt{3}}$$\frac{1+x}{k}$=2log₃$\frac{1+x}{k}$，（5分）
又-1＜x＜1，k＞0，（6分）
由f（x）≥g（x）得log₃$\frac{1+x}{1-x}$≥log₃$\frac{（1+x）^{2}}{{k}^{2}}$，
即$\frac{1+x}{1-x}$≥$\frac{（1+x）^{2}}{{k}^{2}}$，（8分）
即k²≥1-x²，（9分）
x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]时，1-x²最小值为$\frac{3}{4}$，（10分）
则k²≥$\frac{3}{4}$，（11分）
又k＞0，则k≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即k的取值范围是（-∞，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．（12分）

点评 本题考查函数的奇偶性的判断和证明，考查不等式有解的条件，注意运用对数函数的单调性，考查运算化简能力，属于中档题．