Question

8．已知函数f（x）=x（e^x-e^-x），若f（a+3）＞f（2a），则a的范围是-1＜a＜3．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的奇偶性，求出函数的单调性，问题转化为|a+3|＞|2a|，求出a的范围即可．

解答 解：函数f（x）=x（e^x-e^-x）=f（-x），
函数f（x）=x（e^x-e^-x）是偶函数，
而f′（x）=（e^x-e^-x）+x（e^x+e^-x），
x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，
故x＜0时，f（x）递减，
∵f（a+3）＞f（2a），
∴|a+3|＞|2a|，
解得：-1＜a＜3，
故答案为：-1＜a＜3．

点评 本题考查了求函数的奇偶性、单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．