Question

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足8Sn=+4an+3(n∈N*),且a1,a2,a7依次是等比数列{bn}的前三项.

(1) 求数列{an}及{bn}的通项公式;

(2) 是否存在常数a>0且a≠1,使得数列{an-logabn}(n∈N*)是常数列?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

Answer 1

 (1) 当n=1时,8a1=+4a1+3,a1=1或a1=3.

当n≥2时,8Sn-1=+4an-1+3,an=Sn-Sn-1=(+4an--4an-1),

从而(an+an-1)(an-an-1-4)=0.

因为{an}各项均为正数,所以an-an-1=4.

所以,当a1=1时,an=4n-3;当a1=3时,an=4n-1.

又因为当a1=1时,a1,a2,a7分别为1,5,25,构成等比数列,

所以an=4n-3,bn=5n-1.

当a1=3时,a1,a2,a7分别为3,7,27,不构成等比数列,舍去.综上,an=4n-3,bn=5n-1.

(2) 由(1)知,an=4n-3,bn=5n-1,从而

an-logabn=4n-3-loga5n-1=4n-3-(n-1)loga5=(4-loga5)n-3+loga5.

由题意,得4-loga5=0,所以a=.所以,满足条件的a存在,a=.