Question

【题目】如图，在四棱锥中， 为等边三角形，平面平面， ， ， 为的中点.

（1）求二面角的正弦值；

（2）若平面，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】试题分析：

(1)由题意可知， ， ，据此建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量为，且平面的一个法向量为，据此计算可得二面角的正弦值为.

(2)结合(1)中的空间直角坐标系有，据此得到关于实数a的方程： ，解方程有： .

试题解析：

（1）因为是等边三角形， 为的中点，所以，

又因为平面平面，平面平面，

平面，

所以平面，

又平面,所以，

取的中点，连结，

由题设知四边形是等腰梯形，所以，

由平面，又平面，所以，

建立如图所示空间直角坐标系，

则， ，

设平面的法向量为，

则 ,即

令，则，于是，

又平面的一个法向量为，设二面角为，

所以， ，

所以二面角的正弦值为.

（2）因为平面，所以，即，

因为，

所以，

由及，解得.