Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（其中为常数）．

（1）若直线与曲线恰好有一个公共点，求实数的值；

（2）若，求直线被曲线截得的弦长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程可化为直线坐标方程，曲线的参数方程可化为普通方程，然后将两个方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，由直线和曲线恰好有一个公共点，得，即可求解；

（2）当时，直线恰好过抛物线的焦点，联立得方程组，消去得到关于的一元二次方程，然后由韦达定理及抛物线过焦点的弦长公式，即可求得弦长.

试题解析： （1）直线的极坐标方程可化为直线坐标方程：，曲线的参数方程可化为普通方程：，

由，可得，

因为直线和曲线恰好有一个公共点，

所以，所以．

（2）当时，直线恰好过抛物线的焦点，

由，可得，

设直线与抛物线的两个交点分别为，则，

故直线被抛物线所截得的弦长为