Question

【题目】函数 .

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，若 ，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）求出导函数对分四种情况讨论： ，分别令求得 的范围，可得函数增区间， 求得 的范围，可得函数的减区间；（2）对讨论两种情况： 时，由（1）知， 在上单调递增，当时， ，可得，符合题意； 时， 在上单调递减，当时， ，可证明，不合题意，从而可得实数的取值范围是.

试题解析：（1）由得，故的定义域为， ，

因为，所以，

①当时， 对恒成立，

在内无解，故在上单调递增；

②当时，因为恒成立，所以上单调递增；

③当 时， 恒成立， ，在上单调递增；

④当时，由，得 ，

由，得，

故在上单调递减，在和上单调递增，

综上，当时， 在上单调递增，

当时， 在上单调递减， 在和上单调递增.

（2）①当时，由（1）知， 在上单调递增，

所以当时， ，即 ，

两式相减得，

②当时， 在上单调递减，

所以当时， ，

即 ，两式相减得，

综上可知，当时，若，则实数的取值范围是

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、不等式的恒成立和分类讨论思想的应用，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.