Question

14．如图，测量河对岸的旗杆AB高时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=a，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}a$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}a$

Answer 1

分析 在△CBD中根据三角形的内角和定理，求出∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=45°，从而利用正弦定理求出BC．然后在Rt△ABC中，根据三角函数的定义加以计算，可得旗杆AB的高度．

解答 解：∵△BCD中，∠BCD=75°，∠BDC=60°，
∴∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=45°，
在△CBD中，CD=a，根据正弦定理可得BC=$\frac{CD•sin∠BDC}{sin∠CBD}$=$\frac{a•sin60°}{sin45°}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∵Rt△ABC中，∠ACB=60°，
∴AB=BC•tan∠ACB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a•tan60°=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，即旗杆高为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$a．
故选：B

点评 本题给出实际应用问题，求棋杆AB的高度．着重考查了三角形内角和定理、利用正弦定理解三角形和三角函数的定义等知识，属于中档题．