Question

在平面直角坐标系xoy中，已知四点A（

2

，

3

），B（-2，0），C（

6

，1），D（-

2

，-

3

）中有且只有三点在椭圆E： 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若P是圆x²+y²=12上的一个动点，过动点P作直线l₁、l₂，使得l₁、l₂与椭圆E都相切，求证：l₁⊥l₂．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由椭圆的对称性知

2

a2

+

3

b2

=1，点C(

6

， 1)在椭圆上，则

6

a2

+

1

b2

=1，由此能求出椭圆E的方程．
（2）当l₁，l₂中有一条直线的斜率不存在时，l₁⊥l₂；当l₁，l₂的斜率都存在时，设点P（x₀，y₀），有x02+y02=12．设经过点P（x₀，y₀）与椭圆相切的直线为y=t（x-x₀）+y₀，由

y=t(x-x0)+y0 x2 8 + y2 4 =1

，得(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-8=0，由此结合题设条件能证明l₁⊥l₂．

解答： （本小题13分）
解：（1）由椭圆的对称性可知，点A (

2

， 

3

)，D(-

2

， -

3

)必在椭圆E上，
即

2

a2

+

3

b2

=1①…（2分）
若点B（-2，0），在椭圆上，则a=2，b=

6

，这与题意a＞b＞0不符，
故点C(

6

， 1)在椭圆上，则

6

a2

+

1

b2

=1②
联立①②解得a²=8，b²=4，
所以，椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．…（5分）
（2）①当l₁，l₂中有一条直线的斜率不存在时，
不妨设l₁的斜率不存在，
因为l₁与椭圆相切，则其方程为x=±2

2

，
当l₁的方程为x=2

2

时，
此时l₁与圆x²+y²=12交于点(2

2

，2)，(2

2

，-2)，
则l₂为y=2或y=-2，显然l₁⊥l₂；
同理可证直线l₁的方程为x=-2

2

时，l₁⊥l₂．         　 …（8分）
②当l₁，l₂的斜率都存在时，设点P（x₀，y₀），有x02+y02=12．
设经过点P（x₀，y₀）与椭圆相切的直线为y=t（x-x₀）+y₀，
由

y=t(x-x0)+y0 x2 8 + y2 4 =1

消去y，得(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-8=0
由△=0化简整理得，(8-x02)t2+2x0y0t+4-y02=0．
因为x02+y02=12，
所以有(8-x02)t2+2x0y0t+(x02-8)=0．…（11分）
设直线l₁，l₂的斜率分别为t₁，t₂，
因为l₁，l₂与椭圆都相切，
所以t₁，t₂满足方程(8-x02)t2+2x0y0t+(x02-8)=0，
所以t₁•t₂=-1，即l₁⊥l₂．
综合①②知，l₁⊥l₂．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．