Question

12．已知f（x）为奇函数，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），x∈[0，1）}\\{1-|x-3|，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，方程f（x）=a（0＜a＜1）的所有实数根之和为（　　）

• A． 1-2^a
• B． 2^a-1
• C． （$\frac{1}{2}$）^a-1
• D． 1-（$\frac{1}{2}$）^a

Answer 1

分析 利用奇函数得出f（x）$\left\{\begin{array}{l}{-lo{g}_{\frac{1}{2}}（1-x），x∈（-1，0）}\\{-1+|x+3|，x∈（-∞，-1]}\end{array}\right.$，并画出图象，根据对称性得出x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=x₃，再求出x₃=1-2^a即可．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），x∈[0，1）}\\{1-|x-3|，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，
且f（x）为奇函数，
∴当x∈（-∞，0）时，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lo{g}_{\frac{1}{2}}（1-x），x∈（-1，0）}\\{-1+|x+3|，x∈（-∞，-1]}\end{array}\right.$，
当a∈（0，1），方程f（x）=a有5个根，（如图）
从小到到依次设为：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
显然，x₁与x₂关于x=-3轴对称，x₄，x₅关于x=3对称，
即x₁+x₂=-6，x₄+x₅=6，
因此，所有实根之和为：x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=x₃，
而x₃∈（-1，0），故令-$lo{g}_{\frac{1}{2}}（1-x）$=a，
解得x₃=1-2^a，即x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=1-2^a，
故答案为：A．

点评 本题主要函数的图象与性质，涉及函数的奇偶性和图象变换，并运用图象的对称性处理数量关系，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．