题目内容
17．若函数f（x）=（1-$\frac{1}{4}$x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-1对称，则f（x）的最大值为4．分析 由题意得f（0）=f（-2）=0且f（-4）=f（2）=0，由此求出a=4且b=0，可得f（x）=-$\frac{1}{4}$x4-x3+x2+4x．利用导数研究f（x）的单调性，可得到f（x）的最大值．
解答 解：∵函数f（x）=（1-$\frac{1}{4}$x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-1对称，
∴f（0）=f（-2）=0且f（-4）=f（2）=0，
即b=0且（1-4）[（-4）2+a•（-4）+b]=0，
解之得a=4，b=0，
因此，f（x）=（1-$\frac{1}{4}$x2）（x2+4x）=-$\frac{1}{4}$x4-x3+x2+4x，
求导数，得f′（x）=-x3-3x2+2x+4=-（x+1）（x+1+$\sqrt{5}$）（x+1-$\sqrt{5}$）
当x∈（-∞，-1-$\sqrt{5}$）∪（-1，-1+$\sqrt{5}$）时，f'（x）＞0，
当x∈（-1-$\sqrt{5}$，-1）∪（-1+$\sqrt{5}$，+∞）时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1-$\sqrt{5}$）单调递增，在（-1-$\sqrt{5}$，-1）单调递减，在（-1，-1+$\sqrt{5}$）单调递增，在（-1+$\sqrt{5}$，+∞）单调递减，
故当x=-1-$\sqrt{5}$和x=-1+$\sqrt{5}$时取极大值，f（-1-$\sqrt{5}$）=f（-1+$\sqrt{5}$）=4．
故答案为：4．
点评 本题给出多项式函数的图象关于x=-1对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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9．下表是某市近30年来月平均气温（℃）的数据统计表：则适合这组数据的函数模型是（ ）
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 平均温度 | -5.9 | -3.3 | 3.3 | 9.3 | 15.1 | 20.3 | 22.8 | 22.2 | 18.2 | 11.9 | 4.3 | -2.4 |
| A． | y=acos$\frac{πx}{6}$ | B． | y=acos$\frac{（x-1）π}{6}$+k（a＞0，k＞0） | ||
| C． | y=-acos$\frac{（x-1）π}{6}$+k（a＞0，k＞0） | D． | y=acos$\frac{πx}{6}$-3 |
已知A、B、C是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的三点，其中A的坐标为（2$\sqrt{3}$，0），BC过椭圆E的中心，且椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形．