Question

12．已知：空间四边形ABCD的各条边和对角线长都等于a，E，F，G分别是AB，CD，AD的中点．
（1）给出直线EG和直线FG的一个方向向量；
（2）给出平面CDE的一个法向量．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位线定理得EG∥BD，FG∥CA，从而得到$\overrightarrow{BD}$是直线EG的一个方向向量，$\overrightarrow{AC}$是直线FG的一个方向向量．
（2）由已知得到CE⊥AB，DE⊥AB，从而AB⊥平面CDE，由此得到平面CDE的一个法向量为$\overrightarrow{AB}$

解答 解：（1）∵空间四边形ABCD的各条边和对角线长都等于a，
E，F，G分别是AB，CD，AD的中点，
∴EG∥BD，FG∥CA，
∴$\overrightarrow{BD}$是直线EG的一个方向向量，$\overrightarrow{AC}$是直线FG的一个方向向量．
（2）∵空间四边形ABCD的各条边和对角线长都等于a，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，DE⊥AB，
∵CE∩DE=E，∴AB⊥平面CDE，
∴平面CDE的一个法向量为$\overrightarrow{AB}$．

点评 本题考查直线的方向向量的求法，才副标题平面的法向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．