Question

如图所示，A，B分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右顶点，以AB为一边做矩形ABCD，且AD=

3

b．P为椭圆在第一象限上的任意一点，连接PD，PC，分别与x轴交于点M，N，则

|MN|2

|AM||BN|

=（　　）

• A、1
• B、

  4

  3

• C、

  5

  3

• D、

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出直线PD的方程，可得M，N的坐标，即可计算

|MN|2

|AM||BN|

．

解答： 解：设P（m，n），则

m2

a2

+

n2

b2

=1．
∵D（-a，-

3

b），C（a，-

3

b），
∴直线PD的方程为y+

3

b=

n+ 3 b

m+a

（x+a），
令y=0，可得M（

3 bm-an

n+ 3 b

，0），
同理可得N（

3 bm+an

n+ 3 b

，0），
∴

|MN|2

|AM||BN|

=

(2an)2

( 3 ba- 3 bm)( 3 ba+ 3 bm)

=

4a2n2

3b2(a2-m2)

=

4

3

．
故选：B

点评：本题考查椭圆方程，考查长度的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．